캣미스트리

해당 글은 네이버 블로그에 포스팅 된 글을 가져와 재구성중인 글입니다.

(http://blog.naver.com/pysung0409/220980727781)

부득이하게 이번 내용도 숫자를 바꾸기 어려워서 크게 고치지 않았습니다.

1. 화학의 기초

① 단위 인자

Q. 고양이의 길이가 10.2 in 이다. 몇 cm 인가?

in(인치)는 길이의 단위로, 1 in = 2.54 cm 에요.

1인치가 2.54cm 니까 10.2인치면 10.2 X 2.54 =25.908, 한 25.9cm 쯤 되는구나 생각하게 되는데

이렇게 어림짐작 말고 정확한 수식으로 나타낼 때 단위인자를 사용합니다.

단위인자를 사용하는 쉬운 방법은 단위를 숫자나 기호처럼 인식하는 거에요.

위 식에서 양변을 2.54 cm 로 나누면

​

이때, 

이것이 단위인자, 혹은 단위 환산 인자 입니다. 위 값은 1과 같기 때문에 단위를 바꿀때 자유롭게 넣어 쓸 수 있습니다.

이는 분모와 분자를 바꾸어도 그대로 적용되겠지요?

위 문제를 다시 봅시다. 10.2 인치는 몇 센티미터일지 계산해봅니다.

10.2 in의 in와 1 in의 in 가 소거되어 cm의 단위만 남게 됩니다.

단위환산을 자유롭게 하는 팁은

⑴ 계산시 항상 단위를 적는다.

⑵ 단위도 하나의 숫자나 기호처럼 생각하고 계산한다.

해당 글은 네이버 블로그에 포스팅 된 글을 가져온 글입니다.

(http://blog.naver.com/pysung0409/220976332442)

이번 내용은 숫자를 바꾸기 쉽지 않아서 거의 그대로 가져왔습니다.

※ 유효숫자의 계산 방법 

1. 유효숫자 세는 방법

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① 0이 아닌 정수는 모두 유효숫자

  ex) 778.32 → 유효숫자 : 7,7,8,3,2

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② 숫자 앞부분에 오는 0은 유효숫자가 아님

  ex) 0.014 → 유효숫자 :1,4

 위의 숫자는  라고 나타낼 수 있어요(지수표기법).

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③ 숫자 가운데에 오는 0은 유효숫자

  ex) 481.021 → 유효숫자 : 4,8,1,0,2,1

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④ 숫자 끝에 오는 0은 소수점일 경우에만 유효숫자

  ex) 0.023010 → 유효숫자 : 2,3,0,1,0

  ex) 1990 → 유효숫자 : 1,9,9

※ 숫자 끝에 오는 0이 소수점이 아닌 경우, 유효숫자인지 명확하지 않습니다.

대표적으로, 100 같은 경우가 있어요. 

백의자리의 1은 확실히 유효숫자입니다.

십의자리인 0은 유효숫자가 아닙니다.

일의자리인 0은 유효숫자인지 알 수 없어요.

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⑤ 완전수 - 직접 세거나, 정의에 의해 정해지는 수

  완전수는 유효숫자의 계산에서 고려하지 않아요.

  ex) 공 5개

       1인치 = 2.54cm    → 마치 기호처럼, 그대로 사용해요.

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2. 유효숫자 계산 규칙

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① 곱셈, 나눗셈

   → 유효숫자의 개수가 가장 적은값 에 맞춥니다.

즉, 계산 중에 가장 낮은 유효숫자의 개수 = 결과값의 유효숫자 개수

ex)

2.4의 유효숫자가 2개이므로, 결과값의 유효숫자도 2개로 맞춰줍니다.

6.05의 유효숫자가 3개이므로, 결과값의 유효숫자도 유효숫자 3개로 맞춰줍니다.

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② 덧셈, 뺄셈 

   → 정밀도가 가장 낮은값 에 자리를 맞춰줍니다.

즉, 소수점 아래 숫자가 제일 적은 값에 맞춥니다.

ex)

33.1이 소수점 아래 숫자가 하나로 가장 낮은 정밀도를 가지고 있어요.

그러므로 결과값도 소수점 아래 숫자를 하나로 맞춰줍니다.

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③ 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 혼합 

   → 사칙연산 순서대로 계산하며, 과정마다 따로 위의 유효숫자 계산하는 규칙에 따라 계산해요.

ex)

일단 괄호부터 계산합니다. 740.25/3.4 = 217.7205... 입니다.

곱셈의 유효숫자 규칙에 따라 계산합니다. 3.4의 유효숫자가 2개이므로, 결과값의 유효숫자도 2개로 맞춰줘요.

즉, 740.25/3.4 = 220 입니다.

이제 뺄셈의 유효숫자 규칙에 따라 계산합니다.

220이 소수점 아래 한자리도 없으므로, 소수점 자리를 220에 맞춰요.

즉, 5620.3 → 5620 입니다.

본 포스팅은 네이버 블로그에 쓰던 내용을 재정리한 글입니다.

(http://blog.naver.com/pysung0409/220976311386)

1. 화학의 기초

① 측정의 불확실성

⑴ 유효숫자 (★)

시험관에 물이 들어있는 그림입니다. 몇 ml 일까요?

65? 66? 잘 안보이니까 정확하게 말할 수 없다!! 라 생각하게 됩니다.

 그럼 더 정확하게 보기위해 확대해봤어요. 몇 ml 일까요?

65ml 보다는 더 많은데 몇인지 모르겠네요. 65.5? 66? 66.5?

 계속 확대해도 마찬가지입니다. 100% 정확한 측정이란 있을 수 없어요. 하지만 눈금이 더 정확해지면 조금 낫겠죠. 최소한 1ml 단위로 표시되어 있다면 65.x 인지 66.x 인지는 알 수 있겠지요?

 과학에서는 이렇듯 100% 정확한 측정은 할 수 없기에 어디까지는 믿어도 되는 숫자입니다 하는 개념을 만들었어요. 이게 바로 유효숫자 입니다. 다시 말해, 유효숫자란 측정값이나 계산값에서 오차를 생각해도 믿을 수 있는 숫자에요.

 구체적으로는, 항상 확실한 자릿수 + 불확실한 첫번째 자릿수 까지가 유효숫자입니다.

그림이 엉망인건 죄송합니다 ㅠㅠ

 이번엔 1ml 단위까지 있습니다. 다섯명한테 물이 몇 ml 있나요? 물어보니 다음과 같이 대답했습니다.

 65.2ml / 65.1ml / 65.0ml / 65.1ml / 65.1ml

 이렇게 대답할 만 합니다. 정확하게 보이지는 않으니까요. 평균값은 65.1 ml 겠네요.

이때, 항상 확실한 숫자인 6,5와 불확실한 한자리 수 까지(각각 2,1,0,1,1)를 유효숫자 라고 합니다. 

(단, 0은 유효숫자인지 불확실합니다. 밑에 설명할께요)

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 문제로는 어디까지가 유효숫자인지, 혹은 유효숫자를 어떻게 계산하는지가 나옵니다.

하지만 실제 실험에서는 유효숫자가 가지는 의미가 더 중요해요.

측정값 40ml 와 40.00ml 는 차이가 엄청나게 납니다.

40ml 라는건 39.9ml와 40.1ml 사이임을 의미합니다.

하지만 40.00ml는 39.99ml와 40.01ml 사이임을 의미해요. 훨씬 정밀하지요?

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유효숫자의 계산법은 바로 다음글에 따로 정리합니다!

⑵ 정밀도, 정확도 

측정에서 사용되는 용어로 [정밀도], [정확도]가 있습니다.

정밀도는 측정을 반복했을때 측정값끼리 얼마나 비슷한가?

정확도는 측정값이 참값에 얼마나 가까운가?

과녁 그림으로 예를 들어볼께요.

(a)      (b)

그림이 이상해도 알아봐주세요..

측정값 5개가 있어요. 정중앙이 예상되는 참값입니다.

(a)는 측정값끼리는 안비슷한데, 참값과 비교적 가깝지요? 정확도가 높습니다.

(b)는 측정값끼리는 거의 같은데, 참값이랑은 멀어요. 정밀도가 높습니다.

 실제 실험을 해보면, 예상되는 이론적인 값이 있지요? 뭐 10.0ml 가 나올것이다, 예상을 했습니다.

근데 실험을 실제 해보면 정확도가 높을때도, 정밀도가 높을때도 있어요. 보통 둘다 낮지만..

 정확도가 높으면 좋은 실험이라 생각하지만, 실제로는 정밀도가 높을때 좋은 실험일 경우가 많습니다.

정밀도가 높은건 오차를 만드는 특정한 원인이 있어서 그것만 고치면 되는 경우가 많아서에요.

좀더 자세히 설명하기 위해 오차의 종류를 알아봅시다!

(3) 우연 오차, 계통 오차

 오차는 우연 오차(random error)와 계통 오차(systematic error)가 있습니다. 영어로 이해하는게 더 쉽네요.

 우연 오차란 영어 그대로 랜덤입니다. 이건 어떻게 고칠수가 없습니다. 아무리 좋은 기기로 실험해도 소수점 마지막 자리는 매번 같기 어렵지요. 이는 보정할 수 없는 오차로, 실험시 손떨림, 공기의 흐름 등 어쩔 수 없는 원인으로 생깁니다.

 우연 오차는 고칠 수 없으므로, 시행횟수를 늘려 평균값을 내는 통계적인 방법으로 고칩니다.

 계통 오차는 오차가 특정한 원인이 있는 경우입니다. 굳이 나누자면 외부환경의 요인으로 인한 외계 오차,
기계 자체의 오차인 기계 오차, 실험자의 문제로 나타나는 개인 오차 로 나눌 수 있지만..

 계통 오차는 오류가 나는 이유가 있으므로, 통계적 방법으로 고치지 않습니다. 그 정확한 원인을 알아내서 고칩니다. 뷰렛을 거꾸로 읽고 있었거나, 비커 눈금이 이상했거나, 기기를 잘못 사용했거나 등등.. 원인을 고치면 되겠지요!

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 아까 설명했듯이, 정확도가 높은 경우보다 정밀도가 높은 경우, 실험이 더 성공적일 수 있습니다.

정밀도가 높은건 참값이랑은 멀지만, 실험의 수행 자체는 잘 되고 있는거에요. 예를 들어볼께요.

 실험시 결과가 15.0ml 가 나올것으로 예상되는 실험을 A, B 두 그룹이 합니다.

A그룹은 5번 실험한 결과 모두 22.0ml 가 나왔고,

B그룹은 14.0ml, 17.0ml, 18.5ml, 13.4ml, 15.2ml 가 나왔어요.

정확도는 B그룹이 높습니다. 값들이 A그룹에 비해 모두 15.0ml 에 가깝기 때문입니다.

정밀도는 A그룹이 높습니다. 이 경우, A그룹이 실험중 어떤 특정한 원인에 의해 7ml 더 높은 결과를 얻었을 가능성이 높겠지요? 실험 자체는 잘했기에 값들이 5번이나 똑같게 나왔겠지요. 즉, 원인을 찾아 고쳐서 다시 실험하면 잘 될 가능성이 높아요.